Все Математические Формулы
Чтобы легко решать задачи на экзамене, нужно знать формулы по математике. Все говорят об этом, но никто не говорит о том, какие формулы нужно знать прежде всего, а какие - не имеют никакого отношения к экзаменам. В этом посте я предлагаю вашему вниманию 7 листов формул по математике. Математические формулы и таблицы. На данной странице Вы можете посмотреть или бесплатно.
Как успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике? Для того чтобы успешно по физике и математике, среди прочего, необходимо выполнить три важнейших условия:. Изучить все темы и выполнить все тесты и задания приведенные в на этом сайте.
Для этого нужно всего ничего, а именно: посвящать подготовке к ЦТ по физике и математике, изучению теории и решению задач по три-четыре часа каждый день. Дело в том, что ЦТ это экзамен где мало просто знать физику или математику, нужно еще уметь быстро и без сбоев решать большое количество задач по разным темам и различной сложности. Последнему научиться можно только решив тысячи задач.
На самом деле, выполнить это тоже очень просто, необходимых формул по физике всего около 200 штук, а по математике даже чуть меньше. В каждом из этих предметов есть около десятка стандартных методов решения задач базового уровня сложности, которые тоже вполне можно выучить, и таким образом, совершенно на автомате и без затруднений решить в нужный момент большую часть ЦТ. После этого Вам останется подумать только над самыми сложными задачами. Посетить все три этапа по физике и математике. Каждый РТ можно посещать по два раза, чтобы прорешать оба варианта. Опять же на ЦТ, кроме умения быстро и качественно решать задачи, и знания формул и методов необходимо также уметь правильно спланировать время, распределить силы, а главное правильно заполнить бланк ответов, не перепутав ни номера ответов и задач, ни собственную фамилию.
Также в ходе РТ важно привыкнуть к стилю постановки вопросов в задачах, который на ЦТ может показаться неподготовленному человеку очень непривычным. Успешное, старательное и ответственное выполнение этих трех пунктов позволит Вам показать на ЦТ отличный результат, максимальный из того на что Вы способны. Нашли ошибку? Если Вы, как Вам кажется, нашли ошибку в учебных материалах, то напишите, пожалуйста, о ней на почту. Написать об ошибке можно также в социальной сети. В письме укажите предмет (физика или математика), название либо номер темы или теста, номер задачи, или место в тексте (страницу) где по Вашему мнению есть ошибка. Также опишите в чем заключается предположительная ошибка.
Ваше письмо не останется незамеченным, ошибка либо будет исправлена, либо Вам разъяснят почему это не ошибка.
. Современные научные издания насыщены математическими методами доказательств. Ученые вводят в текст большое число формул, символов.
Отличительные особенности математических формул – большая смысловая концентрация, высокая степень абстрактности заключенного в них материала, специфичность ма–тематического языка. Это в известной степени осложняет восприя–тие читателем текста и ставит перед редактором немало проблем. Математической формулой называется символическая запись какого-либо утверждения (предложения, суждения). Формулы по–могают заменить в тексте сложные словесные выкладки, различные операции с количественными показателями. Для этого используют специальные обозначения – символы, которые можно разделить на три группы: – условные буквенные обозначения математических и физико-технических величин; – условные обозначения единиц измерения величин; – математические знаки. Существует мнение, что редактору работать с текстом, в кото–ром много формул, намного проще, чем с текстом без формул.
Это неверно, ибо формулы в еще большей степени, чем текст, могут претерпевать преобразования и иметь различные формы записи, причем для каждой конкретной формулы в каждом конкретном издании должен быть выбран оптимальный вид. При этом учиты–ваются круг читателей, на который рассчитана данная книга, и особенности каждой формулы, чтобы избежать ошибок, неясно–стей или неудобочитаемости. Проследим это на примере записи одной формулы. Эксплуатационная скорость автомобиля v э=L/T н, где L – путь, пройденный автомобилем за время в наряде (на работе); T н – время в наряде. В таком виде формула удобна, например, для вузовского учеб–ника.
Эксплуатационная скорость автомобиля v э=L/T н, где L – путь, пройденный автомобилем за время в наряде (на работе); T н – время в наряде. Такая запись вполне приемлема, например, для учебного пособия по курсовому проектированию, читатель которого уже несколько подготовлен, а этот фрагмент – часть некоторой методики расчета. Эта же формула в производственных изданиях для инженер–но-технических работников вполне может быть набрана в подбор. Эксплуатационная скорость автомобиля v э=L/T н, где L – пробег; T н – время в наряде. В учебнике для школьников, учащихся ПТУ эта формула должна иметь другой вид.
Эксплуатационная скорость, которую принято обозначать ха–рактеризует условную среднюю скорость подвижного состава за все время пребывания его в наряде (на работе) и определяется отношени–ем пробега ко времени в наряде, т.е. Где L – путь, пройденный автомобилем за время в наряде; T н – время в наряде.
Такая запись позволяет учащемуся наглядно увидеть, как влия–ют исходные параметры на результат, т.е. Понять, какие параметры влияют на конечный результат прямо пропорционально, а какие наоборот, легко запомнить формулу и усвоить «классическую» форму математической записи физической зависимости. В научно-популярной литературе для массового читателя, где на всю книгу встречаются одна-две формулы, запись в математи–ческой форме выглядит неуместной. Поэтому лучше сделать так.
«Эксплуатационная скорость автомобиля как один из важнейших показателей его работы определяется расчетным путем: 6. В научных изданиях, где, например, эта формула необходима читателю лишь для напоминания с целью объяснения каких-то явлений, не имеющих прямого отношения к расчету показателей использования автомобиля, формула в традиционном виде может быть опущена вообще, а смысл ее просто передан словами: «Экс–плуатационная скорость автомобиля, определяемая как частное от деления пробега на время в наряде, – один из важнейших пока–зателей, которые приходится учитывать при формировании опти–мальной структуры парка транспортного объединения». Если теперь оценить приведенные варианты, нетрудно увидеть, что они заметно различаются по удобству восприятия, компакт–ности построения и трудоемкости издания.
В понятие «трудоем–кость издания» здесь будем условно включать трудоемкость редак–тирования, перепечатки формульных оригиналов, считки. Каждый вариант имеет свои, отличные от других, показатели восприятия, компактности и трудоемкости. Рассмотрены варианты написания простейшей формулы, но если она окажется более сложной, то легко представить, что поя–вятся и другие варианты, связанные с возможностью варьирования формой записи индексов, выделением в формуле функциональ–ных групп параметров, расчленением одной сложной формулы на несколько простых и наоборот изменением «этажности» формулы в целом и ее составных элементов. Прежде чем продолжить рассуждения о редактировании мате–матических формул, надо оговорить, что считать незыблемым в формулах, а что – допускающим варианты. В специальной лите–ратуре сказано ясно и недвусмысленно: в математических форму–лах должны применяться такие символы, которые установлены стандартом или являются общепринятыми в отрасли.
Это, безусловно, верно, но заметим, что стандартами регла–ментируется лишь незначительная часть символов, а «общепри–нятые» символы при анализе специальной литературы на одну тему чаще всего оказываются «общепринятыми» не в отрасли, а в пределах одной организации. Особенно это характерно для ин–дексов. Многие величины, необходимые только в одной отрасли науки, должны иметь свои собственные обозначения, отличающиеся от обозначений сходных величин в других отраслях науки. Чтобы ре–шить эту проблему, т.е.
Индивидуализировать символ, применяют индексы. К основному буквенному обозначению добавляют ин–декс, указывающий на частное значение. Так, латинской буквой L или l чаще всего обозначают длину, интервал, протяженность, дальность, период и т.п. Если же необходимо обозначить конкре–тизированное понятие длины, то к общему символу добавляют уточняющий индекс.
Все Математические Формулы Pdf
Например: L к – длина кормовой части лодки; L пр – расстояние пробега; l э – размах элерона; l ск – длина участка скалывания. Основным материалом для составления индексов являются строчные буквы русского алфавита. Значительно реже применяют–ся буквы латинского алфавита, очень редко – греческие и тем более готические. Довольно часто в индексах используются арабские цифры и математические знаки.
По местоположению при буквен–ном обозначении индексы подразделяют на нижние и верхние, причем нижние предпочтительнее. Верхний индекс справа лучше не использовать, так как это место показателя степени. Наиболее часто в качестве верхних индексов применяют штрихи: h?; h?? Иногда индексы могут быть расположены вверху слева, если необходимо различить обозначения, имеющие совершенно оди–наковый вид, и если обозначение уже снабжено какими-либо ин–дексами и степенями. Например, имеется обозначение углов по–ворота стержня Q, которые в зависимости от точек приложения силы снабжаются нижними индексами 1, 2, 3, а также штриха–ми?,??,??? – в зависимости от кратности приложения силы (так, Q1? – первое приложение силы в точке 1; Q 1?? – второе приложение силы в точке 1 и т.д.). Если нужно выделить еще и угол поворота (слева или справа от узла стержня), применяют левые верхние ин–дексы:? – для обозначения угла слева от узла; п – для обозначе–ния угла справа от узла.
Таким образом, буквенное обозначение с индексом?Q 1 – первое приложение силы в точке 1 при левом повороте узла. Ноль в качестве индекса придает буквенному обозначению значение «расчетный», «начальный», «исходный», относящийся к центру тяжести и т.п., а также может употребляться в значении «стандартное состояние вещества», например, l 0 – расчетная дли–на, t 0 – начальная температура.
Все Математические Формулы Скачать
Индексы, состоящие из нескольких слов, сокращают по началь–ным и характерным буквам. При этом, если индекс представляет собой два или три сокращенных слова, после каждого из них, кроме последнего, ставят точку, например S рв – площадь руля высоты. Теперь непосредственно о восприятии формул. Принято счи–тать, что хорошо воспринимаемая формула – это такая, которую легко понять и запомнить. Добавим два дополнительных требо–вания. При прочих равных условиях предпочтение следует отдавать таким символам в формулах, которые легко и однозначно воспро–изводятся на письме (от руки). В первую очередь это относится к учебникам, формулы из которых преподаватель пишет на доске, учащийся – в конспекте и т.д.
Трудности здесь возникают обычно в связи со сходным начертанием букв разных алфавитов и из-за неоправданной усложненности индексов. Так, R г.ц легко и запи–сать, и потом прочитать. А теперь попытаемся прочитать запись? Для этой, казалось бы, выразительной записи существуют свыше 100 (!) вариантов прочтения, ибо есть шесть вариантов для с («ро» строчная и прописная; «пэ» строчная и прописная; «эр» строчная и прописная); четыре варианта для е («е» и «эль», на строке и в индексе); шесть вариантов для g («дэ» и «жэ»; на строке, в индексах первой и второй ступени).
Кроме того, всю запись можно прочитать и как «? Формула должна иметь хороший графический рисунок. Плохо воспринимаются, например, цифры в середине сомножителей (их лучше ставить спереди), сложные показатели степени и индексы, многоступенчатые индексы, сложные формулы, приведенные к компактному виду. Особой разновидностью искажений графики, еще больше ухудшающих «внешний вид» формулы, являются нарушения пра–вил набора.
Желая упростить его, иногда смещают верхние индексы относительно нижних (K ав ткм). Точки в индексах часто оказываются не на месте и выглядят знаком умножения (Д Б. Запятые после формул неопытные наборщики набирают в индексах (А =ВС к).
Не соблюдаются правила выбора кегля для подключек, в результате чего формула и экспликация становятся не похожими друг на друга. Если в индексах встречаются буквы разных алфавитов, часто они плохо выравниваются («пляшут»). Знак деления «косая черта» по высоте часто ниже (меньше кегль) делимого и делителя. Из сказанного можно сформулировать рекомендации по улуч–шению воспроизводимости и графики формул. Что касается главного условия хорошей воспринимаемости формул – облегчения их понимания и запоминания, – необходимо учитывать следующие рекомендации: – при прочих равных условиях русские символы, являющиеся первой буквой зашифрованного слова, воспринимаются, т.е.
По–нимаются и запоминаются, лучше, чем латинские или греческие; – в качестве символов нежелательно использовать аббревиатуры, так как они воспринимаются как произведение; – индекс по возможности должен яснее отражать зашифрованное в нем слово или словосочетание; —легко понимается и запоминается формула, в которой на–глядно отражена зависимость результата вычисления от характера изменения параметров. Единицы физических величин следует помещать только после подстановки в формулу числовых значений величин и проведения промежуточных вычислений – при получении конечного результа–та.
Например: неправильно: с = КТм/с = 1,4 290 300 м/с = 350 м/с; правильно: с = КТ = 1,4 290 300 = 350 м/с. Математические знаки определяют как символы, служащие для записи математических понятий, предложений и вычислений.
Так, «отношение длины окружности к длине ее диаметра» записы–вается в виде знака щ. Математические знаки подразделяются на три группы: 1) знаки математических объектов (точки, прямые, плоскости) обычно обозначаются соответственно буквами (А, В, С; а, b, с;?,?,?); 2) знаки операций сложения (+) и вычитания (-); возведения в степень а 2, а 3 и т.д.; корня V; знаки тригонометрических функ–ций log, sin, cos, tg и др.; факториала!; дифференциала и интеграла dx, ddx,?ydx, модуля х ; 3) знаки отношений (= – равенство– большеи т.д.
Если на этих знаках разделить формулу на строки не удается, ее следует делить на знаках операций + или —. Менее желательно, хотя и допустимо, деление формул на строки на знаках ± и умно–жения. Не принято делить строку на знаке деления (две точки).
Если формулу делят на знаке умножения, его показывают не точ–кой, а косым крестом (?). Особенно внимательно подходят к вопросу о переносе уравне–ний, правая или левая часть которых представлена в виде дробей с длинными числителями и знаменателями или с громоздкими подкоренными выражениями. Такие уравнения необходимо пре–образовывать, приводя их к виду, удобному для переноса. Дроби с длинным числителем и коротким знаменателем целе–сообразно представлять так, чтобы числитель был записан в виде многочлена в скобках, а единица, деленная на знаменатель, вы–несена за скобки. Например, уравнение легко приводится к виду При коротком числителе и длинном знаменателе рекомендуется заменять отдельные сложные элементы упрощенными обозначе–ниями. Например: вместо надо Если в формулу входит дробь с длинным числителем и длин–ным знаменателем, то для переноса либо используют оба реко–мендованных приема преобразования, либо заменяют горизон–тальную дробную черту знаком деления (две точки). В последнем случае формула будет иметь вид ( a 1 x + a 2 y +.
+ a i h): ( b 1 x + b 2 y +. Подкоренное выражение рекомендуется преобразовать путем возведения его в степень 1/и. Например, формулу можно записать так: ( a 1 x + b 1 x 2 +. Знаки, на которых делают перенос, ставят два раза: в конце первой строки и в начале перенесенной части. Например: Если формулу прерывают на отточии, его также повторяют в начале следующей строки.
Если знак равенства стоит перед зна–ком минус, перенос делают на знаке равенства. Если формула имеет в своем составе несколько выражений в скобках, перенос рекомендуется делать на знаке + или –, стоящем перед скобками. Несмотря на все старания редакторов и корректоров, погреш–ности в тексте с формулами все же остаются. Типичная ошибка при переносе формул – отрыв аргумента от функции. Например: Конечно, нельзя требовать от наборщика, чтобы он дифферен–цированно оценивал запись типа f(x – y): без контекста невозможно сказать, что она означает: произведение двух функций f и (х – у) или зависимость функции f от аргумента (х – у).
Однако известно, что тригонометрические функции без аргумента не имеют смысла, поэтому без них не употребляются. И помещать знак умножения между функцией и ее аргументом – грубейшая ошибка. В приведенном примере редактор не мог предусмотреть допу–щенных ошибок. В первом случае перенос формулы вызван недо–смотром наборщика при разбивке ее на две строки, во втором формула была в самом тексте, и предвидеть ее перенос в этом месте при редактировании было практически невозможно.
Но в верстке редактор обязан был исправить эту ошибку. Емкость печатного листа с формулами в 2—3 раза меньше емкости печатного листа текста, что увеличивает себестоимость издания.
Издательская практика располагает рациональными приемами по–дачи формул, дающими ощутимый экономический эффект. Фор–мулы, как правило, набирают в красную строку с отбивкой сверху и снизу.
Это ведет к увеличению расхода бумаги, удорожанию на–бора и монтажа формул. Выключка формул посередине формата целесообразна в двух случаях: а) формула нуждается в акценте; б) из-за сложности и громоздкости формула не может быть набрана вместе с текстом. Формулы, на которые необходимо обратить внимание, как прави–ло, нумеруются.
Однако часто формулы выключают без всякой необходимости. Например, текст вполне можно разместить в одной строке. Существенного уплотнения набора можно добиться и тогда, когда этому, казалось бы, препятствует нумерация формул. На–пример: При таком расположении формул найти ее номер не составляет труда. Иногда авторы помещают одну под другой несколько однотип–ных формул, каждой давая номер.
В подобном случае все формулы можно поместить в одной строке под одним номером: Изменение ссылок на них не вызывает затруднений. Если, на–пример, нужно сослаться на формулу для выражения координаты, можно написать: «по второй из формул (3)».
Методы преобразования, заложенные в природе самой форму–лы, позволяют практически любую формулу любой сложности представить в виде, удобном для набора. Простейшая дробь оказывается неудобной для набора. Но ее можно записать или через косую черту 1/2, или десятичной дробью 0,5, или в виде степени 2 -1. Все варианты равноправны, однако наибольшее распростра–нение получил первый.
Считается, что в изданиях произведений научной литературы можно любые дроби преобразовать в однострочные выражения типа: (а + в)/с; (А + В)/(с + d) и т.д. Здесь явная выгода в расходе бумаги. Особенно целесообразно преобразование многоэтажных дробей. Например, дробь можно преобразовать в вид (a/b + c/d)/(e/f + g/h) -1. В целях экономии бумаги такой ее компактности уделяется большое внимание. Однако здесь не обошлось без перебора: в пе–чати стали появляться огромные невоспринимаемые формулы и формулы двусмысленного толкования. Невоспринимаемые формулы – результат порой бездумного перевода сложных двух– и трехэтажных формул в однострочные с помощью знака «косая черта» и отрицательных показателей сте–пеней.
Формулы двусмысленного толкования получаются в тех случа–ях, когда в знаменателе после косой черты оказывается произве–дение. Яркий пример неосторожного обращения со знаком «косая черта» – в приложении 1 к ОСТу 29.115—88 «Оригиналы автор–ские и текстовые издательские. Общие технические требования». Авторы стандарта считают возможным формулу преобразовать так: Это неверно, ибо становится непонятным, какие символы на–ходятся в числителе, а какие – в знаменателе. Если эту неодно–значность устранить (с помощью дополнительных скобок), фор–мула получится еще менее воспринимаемой.
Такой вариант станет, может быть, пригодным лишь для какого-то особого компактного издания, в котором формула дается лишь для того, чтобы, не заду–мываясь над ее смыслом, подставить цифры и получить результат. Рассмотрим еще один «учебный» пример: Если просто заменить горизонтальную дробную черту на косую, получим А = В/СХ и А = В/СХ, т.е.
Разные формулы стали одинаковыми. Чтобы такого не произошло, в первой формуле надо произве–дение в знаменателе поставить в скобках, а во второй перенести X вперед или В/С записать в скобках: А = В/(СХ) и А = XB/C = (B/С) X. Многие считают, что вторую формулу в варианте А = В/ СХ можно оставить без изменения, ибо по правилам арифметики здесь дей–ствия будут выполняться в порядке расположения знаков.
С этим нельзя согласиться, поскольку в технической литературе издавна сложился стереотип восприятия выражения за косой чертой как единого целого. Например, удельный расход топлива всегда обо–значали так: г/кВтч, где «ч (ас)» на самом деле находится в знаме–нателе, хотя по правилам арифметики он стоит в числителе. Если в выражении А = В/ СХ косую черту заменить знаком деле–ния (две точки), это тоже нехорошо, ибо С и Xбудут набраны без пробела и многими будут приняты за произведение (А = В: СХ). Как и было условлено, в трудоемкость формул (экономич–ность) будем включать трудоемкость не только набора, но и редак–тирования, перепечатки формульного оригинала, считки. Спра–ведливости ради сюда следовало бы включить и трудоемкость проверки формул автором в верстке, когда ему приходится порой часами проверять формулы, ставшие неузнаваемыми после редак–тирования. Очевидно, например, насколько труднее проверить вторую формулу, чем первую: до преобразования после преобразования?
= 4( A/ C):(1+ A/ C) 2+ B 2/ C(?/? Конечно, то, что трудоемкость формул обычно сводится лишь к стоимости набора, в какой-то мере понятно: стоимость набора – это количественный и внешний показатель подготовки издатель–ского оригинала. Остальные показатели трудоемкости не подсчи-тываются и являются для издательства внутренними. Чтобы сделать трудоемкость редактирования минимальной, надо добиться того, чтобы авторы представляли материал, в кото–ром соблюдены следующие требования: – формулы вписаны от руки печатными буквами, аккуратно и ясно (если автор не смог осуществить компьютерный набор); – знаки деления в сложных формулах имеют вид горизонталь–ной черты. Такие формулы легко проверить, проанализировать и принять решение, согласовав, естественно, с автором целесо–образность придания формуле более компактного вида; – формулы размечены; – сделаны необходимые уточнения на полях («е» – не «эль» и т.д.); – число букв и знаков, требующих дополнительного разъясне–ния на полях, сведено в формулах к минимуму. Много лишней бумаги уходит на подробные представления математических действий и выкладок. В таких случаях число фор–мул можно сократить – далеко не всегда необходимо приводить все промежуточные преобразования, если они элементарны по ха–рактеру.
Например, вместо целого ряда преобразований формулы вполне достаточно написать Экономии бумаги можно достичь и группировкой формул. Так, формулы? X y; возможно сгруппировать более компактно:?
Пунктуация в тексте с формулами еще недостаточно система–тизирована, так как формулы нередко рассматриваются в качестве независимой части, искусственно вкрапленной в предложение. Бессистемность, разнобой легко устранить, если формулы и от–дельные символы рассматривать как члены предложения. С такой позиции каждую формулу нужно расценивать как синтаксиче–скую единицу, входящую в предложение, и соответственно рас–ставлять знаки препинания. Формулы, как уже говорилось, или располагаются внутри тек–стовых строк, или выключаются посередине формата набора.
Если внутри текста имеются формульные выражения, то при расста–новке знаков препинания знаки математических действий следует рассматривать как именную часть составного именного сказуемо–го, в котором опущена связка. Например: Если?
Z,C,-,+, —, причем их следует повторять в начале следующей строки. Не допускается перенос формулы на знаке связи (=). Структурные формулы разбивать переносом нельзя. Чтение текстов с различными формулами – задача сложная, так как необходимо знать не только символику, принятую в дан–ной области науки, условия построения, но и правила набора фор–мул. Формульные тексты рекомендуется корректору читать в оди–ночку, чтобы зрительно видеть, как нужно было набрать тот или иной символ, как должна быть построена и расположена формула. Перед тем как приступить к чтению полос, необходимо ознако–миться со следующим: – общей системой символов и обозначений в данном издании; – особенностями написания символов и обозначений в ориги–нале, чтобы в процессе чтения не спутать один знак с другим; – принципами заверстки, размещения формул в тексте, прие–мами их оформления в данном издании, чтобы добиться едино–образия.